¿Un número irracional elevado a una potencia irracional puede ser un número racional?

Pregunta: ¿Un número irracional elevado a una potencia irracional puede ser un número racional?

Respuesta:

Demostración (sencillísima):

sqrt 2 ^ sqrt 2 es racional o irracional.

  1. Si sqrt 2 ^ sqrt 2es racional, la respuesta es positiva, y hemos acabado.
  2. Si sqrt 2 ^ sqrt 2es irracional, entonces como  (sqrt 2 ^ sqrt 2) ^ sqrt 2 = 2 que es racional, la respuesta vuelve a ser positiva.

CQD

Visto en Futility Closet

16 Responses to “¿Un número irracional elevado a una potencia irracional puede ser un número racional?”


  1. 1 OScar 22/08/2012 a las 21:15

    Muy bueno. En el ejemplo de raiz de 2, ¿cual seria el racional?

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  2. 2 Javier 31/08/2012 a las 14:09

    Me ha costado unos segundos cazar la 2ª parte, pero es cierto (Si sigue funcionando lo de multiplicar exponentes,,,:),,,,,,,).

    Muy bueno, es mas, creo que esto se podria aplicar a cualquier numero irracional que sea raíz cuadrada de un numero entero.

    O raiz cuarta.

    Bueno el hilo conductor del razonamiento.

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  3. 3 Ronald 11/09/2014 a las 04:33

    A mí me parece lógica esta demostración, ¿pero ya fue aprobada por matemáticos? No sé si les guste a los matemáticos.

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  4. 4 Marta MS 11/09/2014 a las 06:05

    Si, es correctísima

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  5. 5 Marcos 06/07/2015 a las 23:21

    no funciona con pi (3,141516…)

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  6. 6 Marta MS 07/07/2015 a las 05:44

    Efectivamente. No se dice que todo número irracional elevado a una potencia irracional sea un racional.
    La pregunta es si puede suceder… y lo que se hace es dar un ejemplo.

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  7. 7 Itzel Hernández 26/08/2015 a las 23:12

    alguien me puede decir ¿Qué ocurre si elevamos un número racional a una potencia irracional?

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  8. 8 Marta MS 22/08/2016 a las 10:21

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    #HaceCuatroAños ¿Un número irracional elevado a una potencia irracional puede ser un número racional?

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  9. 9 Math - Update 22/08/2016 a las 11:58

    Reblogueó esto en math – updatey comentado:
    Math from The BOOK 💓 💓 …

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  10. 10 Jose Maria 04/10/2016 a las 15:35

    por que raíz cuadrada de 2 elevada a raíz cuadrada de 2 es irracional . . . .
    Gracias

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  11. 11 Marta MS 05/10/2016 a las 07:23

    No se dice que lo sea. Se argumenta diciendo que puede serlo o no…

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  12. 12 Nepto Juan 23/08/2017 a las 03:26

    Sin embargo tiende a confusión, aunque ya estamos avisados como si fuese una premisa inviable

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  13. 13 Héctor 23/08/2017 a las 12:03

    Otra construcción: toma p natural mayor que 1; fijémonos en el conjunto P={p^(1/q) : q>0 es irracional}.

    Así, P es no numerable, pues el mapeo q–>p^(1/q), q>0 irracional, es inyectivo.

    Luego, debe existir un irracional t=p^(1/q). Por lo tanto t^q=p; es decir, irracional^irracional=natural.

    Le gusta a 1 persona

  14. 14 Miki 16/10/2018 a las 14:09

    Hay una conjetura

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  15. 15 Miguel Lacruz 05/02/2019 a las 12:21

    Esa demostración, aunque no sea constructiva, es elemental y muy ingeniosa. Yo se la cuento a mis alumnos de cálculo infinitesimal en primer curso del grado en matemáticas, aunque también es accesible para alumnos de bachillerato.

    Se sabe que (√2)^(√2) es irracional, y de hecho es trascendente, pero este resultado es consecuencia de otro que es mucho más profundo, el célebre teorema de Gelfond-Schneider: si α,β son números complejos algebraicos tales que α ≠ 0,1 y β no es un número racional, entonces cualquier valor de α^β es un número trascendente.

    Este teorema es la solución a una parte del séptimo problema de Hilbert.
    Otra consecuencia del teorema de Gelfond-Schneider es que la constante de Gelfond 𝑒^𝜋 es trascendente por ser un valor de (-1)^(-i). Se conjetura que 𝜋^𝑒 también es trascendente, aunque ni siquiera se sabe si es irracional.

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  16. 16 Marta MS 05/02/2019 a las 12:26

    ¡Muchas gracias por el comentario! Abrazos

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