Una gata muy tozuda

En el blog sobre curiosidades Futility Closet, Greg Ross -que también es editor del American Scientist Online proponía el pasado 16 de noviembre un problema de matemáticas felinas, que más o menos decía así:

Una escalera está apoyada contra un árbol. Una gatita está subida en el peldaño central. La escalera va resbalando hasta caer al suelo, pero durante el proceso la gatita permanece firme en su peldaño. ¿Qué trayectoria sigue la minina durante la caída de la escalera?

Greg Ross da la respuesta gráfica, y explica la solución en unas líneas:

La gata describe un cuarto de círculo cuyo centro se encuentra al pie del árbol. A medida que la escalera baja, se crean una serie de triángulos rectángulos con la misma hipotenusa -la escalera-. El punto medio de esta hipotenusa -la gatita- se mantiene siempre a la misma distancia de los tres vértices del triángulo.

En efecto, la posición inicial de la escalera es la que se ve en el dibujo. Podemos extraer el triángulo y ponerlo en un sistema coordenado, mostrando además la evolución de la caída de la escalera en el tiempo.

Supongamos que la escalera mide l metros. Entonces, en cada instante,

 l2 = a2(t) + b2(t) 

Un simple cálculo -teniendo en cuenta que la gata está, en cada momento, en el punto medio del segmento determinado por los puntos (a(t),0) y (0,b(t))– muestra que la gatita está situada en el punto 1/2(a(t),b(t)). Entonces

1/4 (a2(t) + b2(t)) = l2,

es decir, el punto medio de la hipotenusa -la minina- está situado en la circunferencia de centro el origen de coordenadas (0,0) y radio 2l.

Además, la escalera cae al suelo en el instante en el que b(t)=0 (y por lo tanto a(t)=- l)… es decir, como bien decía Greg Ross en su explicación, en su caída aferrada a la escalera, la gata recorre un cuarto de circunferencia…

Para que luego se diga que las matemáticas no sirven para nada 🙂

NOTA: Muchas gracias a Greg Ross por permitirme usar su propuesta y sus imágenes.

PD: Esta entrada participa en la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Ciencia Conjunta.

4 Responses to “Una gata muy tozuda”


  1. 1 jca 04/12/2011 de 19:44

    Hola, felicidades por el blog.
    Una forma alternativa: la gatita está en el centro de la escalera (hipotenusa); sea alfa el ángulo inicial entre la escalera y el suelo, con un valor inicial alfa0 y un valor final 0. Entonces las coordenadas del centro (gatita) en cada instante es y = (l/2)·sen(alfa), y la base es x = (l/2)·cos(alfa), por tanto x²+y²=(l²/4)(sen²(alfa)+cos²(alfa)) = l²/4 , tomando el radio r = (l/2) nos queda la circunferéncia x²+y² = r².
    Por cierto, donde dices “circunferencia de centro el origen de coordenadas (0,0) y radio 2l.”, ¿no debe de ser “radio l/2”?
    Saludos.

    Me gusta

  2. 2 Marta MS 04/12/2011 de 20:06

    Jordi,
    por supuesto ¡qué torpe!

    Donde pone
    “1/4 (a²(t) + b²(t)) = l²,
    es decir, el punto medio de la hipotenusa -la minina- está situado en la circunferencia de centro el origen de coordenadas (0,0) y radio 2l.”

    Debe poner
    “1/4 (a²(t) + b²(t)) = (l/2)²,
    es decir, el punto medio de la hipotenusa -la minina- está situado en la circunferencia de centro el origen de coordenadas (0,0) y radio l/2.”

    Gracias por corregirlo 😉 y por tus palabras.

    Me gusta

  3. 3 Marta MS 21/11/2016 de 11:52

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    #HaceCincoAños Una gata muy tozuda

    Me gusta


  1. 1 Resumen Carnaval de Matemáticas 2.8 | Ciencia Conjunta Trackback en 30/11/2011 de 10:26

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